分式方程无解(分式方程无解-分式方程无解)

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分式方程无解-分式方程无解分式方程的增根与无解 例谈分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无 解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整 式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程 无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含 两种情形：原方程化去分母后的整式方程无解；原方程化去分母后的 整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根， 2x4x 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 说明显然，方程中未知数x的取值范围是x2 且x-2．而 在去分母化为方程后，此时未知数 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 题中方程的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的 增根，原方程无解． 解方程x13 说明此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 若方程x3m=无解，则m=——————． 解：原方程可化为x3m=－． 说明因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个 根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们 便会明白其中的道理，此处不再举例． 2x24x 若原分式方程有增根，则x＝2或－2 是方程的根． 或－2代入方程中，解得，a＝－4 说明做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整 式方程中，求出原方程中所含字母的值． 为何值时，关于x的方程无解？ 2x 2x 4x 此时还要考虑转化后的整式方程x＝－10本身无解的情况，解 法如下： 当a－1＝0时，方程为0x＝－10，此方程无解，所以原方程 无解。

如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 或－2代入方程 中，求出a＝－4 结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义． 浅议分式方程的无解浅议分式方程的无解 学习解分式方程，学生都知道分式方程与其它方程的独特之处：即分式方程必须要检验，为什么要检验呢? 因为我们转化成整式 方程后，这个整式方程的解有可能使最简公分母为0，导致此分式方 一、整式方程有解，但这个解使最简公分母为0，导致分式方 程无解 例如：ｘ－5 4－Ｘ＝5无解，求a 即X－4＝0即：15 例如：关于X的分式方程： 点评：在这里，X的系数为是一个代数式，不能随便在等式两 边同除，所以就分如下两种情况： 23a2X aX 当a+2＝0时，整式方程X＝3 可化为0X＝3 所以X 是无解 的。即整式方程无解，这就说a+2＝0 时即：a＝－2 时，整式方程是 无解的，这样整式方程无解才导致分式方程的无解 所以综上所述ａ=1或－2 分式方程增根无解分式方程的增根与无解 乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中分式方程无解，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比 例1、解方程：。

为了去分母，方程两边乘以，得 乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？ 甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当 方程变形过程中搞错啦？时，原方程有的项的分母为0，没有 意义，是不是 乙：因为原来方程中未知数x的取值范围是且，而去分母化 为整式方程后，未知数x 的取值范围扩大为全体实数。这样，从方 程解出的未知数的值就有可能不是方程的解。 甲：如此说来，从方程变形为方程，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程解出的未知数的值 是或不是原方程的解呢？ 乙：很简单，两个字：检验。可以把方程解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于 0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。 乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x 取何值，都不能使方 程两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程 能使它成立，因此，这个方程也无解。，不论x 甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？ 乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看： 例2、解方程，去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原 方程并不是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程虽 然无解，但原方程也没有增根。

乙：增根不是原分式方程的解，但 它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程 的有关问题，你看： 首先把原方程去分母，化为。 因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能 若增根为，代入方程，得，。故当或时，原方程会有增根。 甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎 么一回事？ 乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的“常客”，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些 分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根分式方程无解，例如： 例4、已知关于x的方程无解，求m的值。 先把原方程化为。 当，而时，方程若方程有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程的解为时原方程无解，代入方程 分式方程有增根_无解_有解分式方程有关内容 31x3x 14 分式方程化为整式方程后是整式方程的解使分式方程最简公分母为0 的未知数的值 例题1：关于x的分式方程3x 6x 解题步骤整理：练习：关于x 的分式方程 整式方程的解使最简公分母为零是增根而舍去，无解例题 2：关于x 的分式方程x ax 解题步骤整理：练习：关于x 的分式方程2m xx 例题3：关于x的分式方程1x 2x 解题步骤整理：练习：关于x 的分式方程xx 2mmx 例题4：关于x的分式方程m 解题步骤整理：关于x 的分式方程 2.若关于x的分式方程 的取值范围？3.若关于x的方程 无解，求m的值？5.关于x 的分式方程3x 6x 0有解，求k的取值范围？ 分式方程增根与无解专题分式方程的增根和无解专题讲义 题型一:解分式方程,解分式方程时去分母后所得整式方程的 解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1)3xx 14 1x1x 22 12001200x234x35 1x3x 2xxx 2x55x 2x 1x 1x 1x xx xx 1x1x511 5x6x 6x22 x2x 55 2x 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方 程的根,这种根通常称为增根. 的方程1x 33xm21 值又是多少?x2 9x 3x 22x42a2 使关于x的方程a 产生增根的a 3、若解分式方程2xm1x 1xxx 11xx 1A. －1 或－2 或－24.当m为何值时,解方程 5、关于x的方程 26、当k为何值时，解关于x 的方程：只有增根x=1。

xx 1xx 1x 1x22x2 ax 2x1x 2x 题型三:分式方程无解转化成整式方程来解,产生了增根;转化的整式方程无解. 1、已知关于x的方程 3m无解,求m的值. 22xx 2、关于x的方程 3、关于x的方程 4、关于x的方程3-2x2 mx 33x12k 1x2x 求m的取值范围.例6、.关于x 的方程x 例5、.若关于x的方程 3x33.已知关于x 的方程 5.已知关于x的方程 32有负数根,求k 的取值范围. 3xkx 422a3xa 2936.已知a 的值。32112a2xa a2 6x212x 108.分式 2x2xyyzzx yyzz A、正数B、负数 2x11a1b1c 分式方程的增根与无解(教师版)分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无 解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整 式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程 无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含 两种情形：原方程化去分母后的整式方程无解；原方程化去分母后的 整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根， 从而原方程无解．现举例说明如下： 2x4x 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 说明显然，方程中未知数x的取值范围是x2 且x-2．而 在去分母化为方程后，此时未知数 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 题中方程的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的 增根，原方程无解． 解方程x13 说明此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 说明因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根， 那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定 无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处 不再举例． 的方程会产生增根？2x 2x 4x 若原分式方程有增根，则x＝2或－2 是方程的根． 或－2代入方程中，解得，a＝－4 说明做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整 式方程中，求出原方程中所含字母的值． 为何值时，关于x的方程无解？ 2x 2x 4x 此时还要考虑转化后的整式方程x＝－10本身无解的情况，解 法如下： 当a－1＝0时，方程为0x＝－10，此方程无解，所以原方程 无解。

如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 或－2代入方程 中，求出a＝－4 结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义． 与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容 时参考。 利用可以确定出分式方程的增根，利用可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。 22x42a 使关于x 的方程a 产生增根的a 22x2 2xm1x 1xxx －1或－2 或x=－1分别代入式，得： 解：原方程可化为：ax 12 代入，得：11 xk2关于x 的方程会产生增根，求k 1x1k 为何值时，解关于x的方程：只有增根x=1。 xx 1x 所以当k=3时，解已知方程只有增根x=1。 xk2x 2x1x 解：原方程可化为：x2xk 4k0－1。当k=－1 时，方程的根为x，符合题意。 2xm1 当m为何值时，关于x 的方程2 无实根？ 的取值范围。已知关于 要原方程有实数根，只要方程有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。 4m04 评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路综上所述：当m 根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

1x22x2 ax 2x1x 2x 2x2ax 由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围； 的取值范围。例10. 已知关于x 由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。 a42说明：注意例9 与例10 的区别，例9 读者思考。所以，当a 1．一般法所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。然后解这个整式方程。解 原方程就是方程两边同乘以，约 去分母，得4＋x=x2－9－2x。2．换元法换元法就是恰当地利用换元， 将复杂的分式简单化。分析 本方程若去分母，则原方程会变成高次 方程，很难求出方程的解 设x2＋x=y，原方程可变形为解这个方程， 得y1=－2，y2=1。当y=－2 时，x2＋x=－2。Δ＜0，该方程无实 经检验，是原方程的根，所以原方程 。3．分组结合法就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。4．拆项法拆项法就是根据分式 方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的 项合并使原方程简化。特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有 增根现象。

例4 解方程解 将方程两边拆项，得即x=－3 是原方程的 根。5．因式分解法因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分 式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。解 将各分式的分子、 分母分解因式，得x－10，两边同乘以 x－1，得检验知，它们 都是原方程的根。所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。6．配方法配 方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一 个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。x26x＋5=0，解这 个方程，得x=5，或x=1。检验知，它们都是原方程的根。所以， 原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。7．应用比例定理上述 例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。下面 以合比定理为例来说明。x－x=0，即 /2x=2/x+3；/(x+2) -1)8.(2-x)/(x-3)+1/(3-x)=1 /(x+1)=2x/(3x+3)+1 9.(X+2)/X=(X+5)/(X+1) /x-1=4/x -1 10.(x+5)/(x+8)=(x+6)/(x+7) /(3x-4)=1/(4-3x)-2答案补充 ／X＋30＝600／X／3x－1／3＝5 /+1=80/x+1/3 /x+15/20=1 如“1/12＋1/3”，这种情况，口算相对容易些，方法是：大的分母就是两个分母的公分母，只要把小的分 母扩大倍数，直到与大数相同 为止，分母扩大几倍，分子也扩大相同的倍数，即可按同分母分数相 加进行口算：1/12＋1/3＝1/12＋4/12＝5/12 2.两个分数，分母是互质数的。

这种情况从形式上看较难，学生也是最感头痛的，但完全可以化难为易： 通分后公分母就是两个分母的积，分子是每个分数的分子与另一个分母的积的和(如果是减法就是这两个积的差)，如2/7＋3/13，口算过 程是：公分母是 713＝91,分子是 26(213)＋21(73)＝47，结果是 47/91。 如果两个分数的分子都是1，则口算更快。如“1/7＋1/9”，公分母是两个分母的积(63)，分子是两个分母 的和(16)。 3.两个分数，两个分母既不是互质数，大数又不是小数的倍数的情况。这种情况通常用短除法来求得公分 母，其实也可以在式子中直 接口算通分，迅速得出结果。可用分母中大数扩大倍数的方法来求得 公分母。具体 方法是：把大的分母(大数)一倍一倍地扩大，直到是 另一个分母小数的倍数为止。如1/8＋3/10 把大数10，2 倍地扩大，每扩大一次就与小数8比较一下，看是否是8 的倍数了， 当扩大到4 倍是40 倍)，则公分母是40，分子就分别扩大相应的倍数后再相加(5＋12＝17)，得数为17/40。 高年级计算内容具有广泛性、全面性、综合性。一些常见的运算在现实生活中也经常遇到，这些运算有的 无特定的口算规律，必须通 过强化记忆训练来解决。

主要内容有： 1.在自然数中10～24每个数的平方结果； 2.圆周率近似值与一位数的积及与12、15、16、25几个常见数的积； 3.分母是2、4、5、8、10、16、20、25的最简分数的小数值，也就 是这些分数与小数的互化。 以上这些数的结果不管是平时作业，还是现实生活，使用的频率很高，熟练掌握、牢记后，就能转化为能 力，在计算时产生高的效率。 1.运算定律的熟练掌握。这方面的内容主要有“五大定律”：加法的交换律、结合律；乘法的交换律、结 合律、分配律。其中乘法分配 律用途广形式多，有正用与反用两方面内容，有整数、小数、分数的 形式出现。 在带分数与整数相乘时，学生往往忽略了乘法分配律的 应用使计算复杂化。如2000/168，用了乘法分配律可 以直接口算出 结果是，用化假分数的一般方法计算则耗时多且容易错。此外还有减 法运算性质和商不变 性质的运用等。 的两位数的平方结果的口算方法(方法略)。 3.掌握一些特例。如较常遇见的在分数减法中，通分后分子部分不够减，往往减数的分子比被减数的分子 等较小的数时，不管分母有多大，均可以直接口算。如12/7-6/7 它的分子只相差1， 它差的分子一定 比分母少 1，结果不用计算是 6/7。

又如： 194/99-97/99，分子部分相差2，它差的分子就比分母 2，结果就是97/99。减数的分子比被减数的分子大 较小的数时，都可以迅速口算出结果。又如任意两位数与积的口算， 就是两位数再加上它的一半。 以上是我给学生在做计算题时的一些建议，下面我介绍一下初中生在计算时经常出现失误的地方，希望学生在进行这些方面的计算时能 够投入多一些的注意力。 1、去括号、去分母要注意括号、分数前面的符号，如果是负号，那么各项都要变号！ 3、去分母时保证等式(不等式)的两边同乘，每一项都要乘，尤其是常数项不要忘。 2、培养认真演算的习惯。训练学生作题要有耐性，不急躁，认真思考，即使做简单的计算题也要谨慎。演算时要书写工整，格式规范。 就是在草稿纸上计算也要书写清楚，方便检查。 3、培养及时检验的习惯。检查时要耐心细致，逐一检查。一查运算顺序；二查数字和符号，三查演算过程。即计算结束时，要检查每 一步的运算是否正确；检查数字、符号抄写是否正确，检查每一步的 得数是否准确。 4、培养巧妙估算的习惯。一是计算前进行估算，可估计出得数的范围；二是计算后进行估算，可判断出得数是否正确合理。 第一，读题仔细，重点的地方要画出来，象“不 满足条件的”，“非零实数”等等。 第二，先分析清楚在动笔答题，不要做一步想一 第三，把基础知识记牢固，记灵活，用起来不至

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