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特征向量(特征值和特征向量)

时间：2020-08-04 10:31:58 来源：哪吒游戏网作者：哪吒游戏网

特征向量(特征值和特征向量)，哪吒游戏网给大家带来详细的特征向量(特征值和特征向量)介绍，大家可以阅读一下，希望这篇特征向量(特征值和特征向量)可以给你带来参考价值。

特征值与特征向量的英文是 eigenvalue 和 eigenvector，这个前缀 eigen- 起源于德语，意思是 proper(这里应该是专属的意思）、characteristic（特征的），其实翻译成’特征‘是很好的翻法。

我们先来理解这个为什么叫特征值和特征向量：

$A\mathbf{u} = \lambda\mathbf{u}\\$

矩阵A当然是一个变换，然后这个变换的特殊之处是当它作用在特征向量

$\mathbf{u}$

上的时候，

$\mathbf{u}$

只发生了缩放变换，它的方向并没有改变，并没有旋转。

就像 wikipedia 上经过了错切变换的蒙娜丽莎一样：

这幅图片在水平方向没有改变，

$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$

就是一个它的特征向量，对应的特征值是 λ = 1 .

特征向量是经过了变换特征向量，这个向量可能会 scale，但是仍旧保持其原有的方向，与特定的特征值对应。所以特征向量某种意义上展示了这个变换的‘特征’。

查看wikipedia上的这个表，一些常见的变换对应的特征向量：

那么根据这个图可以得到的结论有：

性质

一般来说对于一个 n x n 的矩阵，我们有:

$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}\\$

可能有 n 个对应的特征值和与之对应的特征向量，注意这里的用词‘可能’。因为看上表就知道这只是一种可能情况，那么我们根据这个可以推出许多别的性质：

也就是

$A^2$

特征值为

$\lambda^2$

，特征向量跟A相同，还可以继续推出：

这个也很容易推出，同时这里我们可能会想要注意

$\lambda \ne 0$

，但实际上如果λ = 0，那就是

$A\mathbf{x} = 0$

， A不可逆，我们也不想要继续这样推导

上面这个式子的推导还是用我们的老朋友，泰勒展开：

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

实际上最早特征值和特征向量就是为了解决微分方程出现的。

那么如果我们的这个 n x n 矩阵有 n 个特征向量，我们当然就可以用它来做一组基，可以把空间中任何向量写成：

$\mathbf{v} = c_1\mathbf{x_1} + \cdots + c_n\mathbf{x_n} \\$

$A^k\mathbf{v} = A^kc_1\mathbf{x_1} + \cdots + A^kc_n\mathbf{x_n}\\ A^k\mathbf{v} = c_1A^k\mathbf{x_1} + \cdots + c_nA^k\mathbf{x_n}\\ A^k\mathbf{v} = c_1\lambda_1^k\mathbf{x_1} + \cdots + c_n\lambda_n^k\mathbf{x_n}\\$

相似矩阵

如果一个矩阵B可以表示成A的这个形式

$B = M^{-1}AM$

,那么我们说 B 和 A 相似，相似矩阵会有相同的特征值。

一个简单的看法是：

$M^{-1}AM\mathbf{y} = \lambda\mathbf{y}\\$

两边同时乘以M：

$AM\mathbf{y} = M\lambda\mathbf{y}\\$

所以：

$A(M\mathbf{y}) = \lambda(M\mathbf{y})\\$

所以B和A的特征值相同，当然从上面这个式子可以看出来特征向量是不同的。

BA 和 AB 有相同的特征值，有了上面的结论，那么我们只用说明 BA 和 AB 相似就能解决问题：

$M(AB)M^{-1} = BA\\$

取 M = B 即可得，当然这也说明了 B 要可逆才行。

矩阵的迹和行列式

矩阵的迹等于特征向量的和：

$\mathrm{tr}( \mathbf{A}) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n \\$

矩阵的行列式等于特征向量的积：

${\displaystyle \det(A) = \lambda_1\lambda_2\cdots \lambda _n}\\$

特征分解

继续一般的 n x n 矩阵，它可以分解成：

$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1}\\$

其中 Q 是 n×n 方阵特征向量，且其第 i列为 A 的特征向量

$q_i$

, Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即

$\Lambda_{ii}=\lambda_i$

。只有可对角化矩阵才可以作特征分解。不能被对角化的矩阵当然也就不能特征分解。

这样分解之后，比如我们要计算：

$\mathbf{A}^2=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^2\mathbf{Q}^{-1}\\$

而对于 n x n实对称矩阵,有 n 个线性无关的特征向量。并且这些特征向量都可以正交单位化而得到一组正交且模为 1 的向量。故实对称矩阵 A 可被分解成

$\mathbf{S}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^T \\$

以上结论也就是 spectral theorem.

参考：

总结：以上内容就是针对特征向量(特征值和特征向量)详细阐释，如果您觉得有更好的建议可以提供给哪吒游戏网小编，特征向量(特征值和特征向量)部分内容转载自互联网，有帮助可以收藏一下。

特征向量(特征值和特征向量)

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